Graafiteoria on sovelluksia kaikissa näissä ja on siksi melko suosittu, olipa kyseessä matematiikka, tietojenkäsittelytiede, biotieteet, tietotekniikka tai kielitiede.

Joten on luonnollista, että olet utelias opiskelemaan lisää graafiteoriasta.

Tämä artikkeli tarjoaa graafisen teorian oppaan, joka auttaa ymmärtämään sen käsitteitä.

Graafiteoria määritellään kaavioiden tai matemaattisten rakenteiden tutkimukseksi, jota käytetään objektien välisten suhteiden mallintamiseen.

Nämä matemaattiset mallit käsittelevät enimmäkseen reunoja ja pisteitä sekä niiden suhteita toisiinsa.

Sisällysluettelo

• Tietorakenteet: Puut ja graafit
• Graafiteorian sovellukset
  • 1. Tietojenkäsittelytiede
  • 2. Matematiikka
  • 3. Kielitiede
  • 4. Yhteiskuntatieteet
  • 5. Fysiikka ja kemia
  • 6. Biologia
  • 7. Kaiken kaikkiaan
• Puhutaanpa perusasioista
  • 1. Piste
  • 2. Vertex
  • 3. Linja
  • 4. Reuna
  • 5. Yhdensuuntaiset reunat
  • 6. Kaavio
  • 7. Monigrafiikka
  • 8. Silmukka
  • 9. Viereisyys
• Mikä on graafi?
• Graafisten tyypit
  • 1. Suunnatut graafit
  • 2. Suuntaamaton kuvaaja
  • 3. Kiertokaavio
  • 4. Asyklinen kaavio
  • 5. Syklinen kaavio
  • 6. Yhdistetty kaavio
  • 7. Yhteys katkennut
  • 8. Täydellinen kaavio
  • 9. Kaksoiskytkentäkaavio
  • 10. Nollakuvaaja
  • 11. Triviaalikaavio
  • 12. Yksinkertainen kaavio
  • 13. Säännöllinen kaavio
  • 14. Pyöräkaavio
  • 15. Kaksiosainen graafi
  • 16. Täydellinen kaksiosainen graafi
  • 17. Tähtikaavio
  • 18. Kuvaajan komplementti
• Puut ja metsä
  • Puu
  • Ylittäviä puita
  • Piirin sijoitus
  • Kirchoffin lause
  • Metsä
• Vertexin aste
  • (i) Riippuva kärki
  • (ii) Isolated Vertex
  • 1. Vertexin aste – suuntaamaton graafi
  • 2. Vertexin aste – suunnattu graafi
  • Graafin astesekvenssi
  • Huippupisteiden asteiden summa -lause
• Väritys
  • 1. Vertex-värjäys
  • 2. Alueen väritys
  • Graafisen värityksen sovellukset
• Yhteydet
  • Leikkaa kärki
  • Vertex-yhteys
  • Leikattu reuna (silta)
  • Reunaliitännät
  • Leikkaa kaavion joukko
• Itsenäiset sarjat
  • 1. Itsenäinen pistejoukko
  • Suurin riippumaton kärkijoukko
  • Suurin riippumaton kärkijoukko
  • 2. Itsenäinen linjasarja
  • Suurin itsenäinen linjasarja
  • Suurin riippumaton linjasarja
• Peitteet
  • 1. Viivapeite
  • Minimaalinen linjapeitto
  • Minimilinjapeitto
  • 2. Vertex-peite
  • Minimaalinen vertex-peitto
  • Huippupisteen vähimmäispeitto
• Perusominaisuudet
  • Kahden kärjen välinen etäisyys
  • Huippupisteen epäkeskisyys
  • Yhdistetyn kaavion säde
  • Kuvaajan halkaisija
  • Keskipiste
  • Keskusta
  • Ympärysmitta
  • Ympärysmitta
• Läpikulkukyky
  • 1. Eulerin polku
  • Eulerin piirilause
  • 2. Hamiltonin polku
• Vastaavia
  • Maksimaalinen yhteensopivuus
  • Suurin vastaavuus
  • Täydellinen yhteensopivuus
• Isomorfismi
  • Isomorfiset kaaviot
  • Tasokaaviot
  • Alueet
  • Alueiden aste
  • Alueiden asteiden summa
• Homomorfismi
  • Homomorfismi ja isomorfismi
  • Monitahoinen kaavio
• Usein Kysytyt Kysymykset
• Suositellut artikkelit

Tietorakenteet: Puut ja graafit

Olemme aina olleet hämmentyneitä siitä, ovatko puut ja kaaviot samoja vai erilaisia ​​tietorakenteita.

No kyllä. Ne ovat melkein samat.

Puut ovat verkkoja tai kaavioita, joissa on juurisolmuja, jotka ovat yhteydessä muihin lapsi- ja lehtisolmuihin ja jotka on aina määritelty säännöillä. Kaavioissa ei ole rajoituksia eikä juurisolmuja.

Graafeissa solmut voidaan yhdistää millä tahansa mahdollisella tavalla, eikä graafien tarvitse olla yksisuuntaisia, toisin kuin puissa.

Puu on aina graafi tai verkko, mutta graafi tai verkko ei aina ole puu.

Graafiteorian sovellukset

Sosiaaliset, fyysiset, informaatiojärjestelmät ja biologiset järjestelmät kaikki niiden väliset suhteet ja prosessit voidaan mallintaa graafien avulla.

Esimerkiksi useimpien tietojenkäsittelytieteen opiskelijoiden on tunnettava verkkojen ja verkottumisen ehdot. Verkot ovat myös eräänlainen graafi, jossa on pisteisiin ja reunoihin liittyviä attribuutteja (kuten reitittimet, tietokonejärjestelmät jne.).

Nyt kun tiedät kaavioista, kerro meille muutamia sovelluksia, jotka auttavat lisäämään uteliaisuuttasi ja ymmärtämään paremmin graafiteoriaa.

1. Tietojenkäsittelytiede

Graafit voivat edustaa viestintäverkkoja, laskentalaitteita, tiedon organisointia, laskentavirtaa jne.

Ongelmia sosiaalinen media , biologia, neurodegeneratiivisten sairauksien kartoitus, matkustaminen, tietokonesirujen suunnittelu ja monet muut alat hyödyntävät graafien reuna- ja solmukäsitettä.

Tietojenkäsittelytieteilijät voivat käyttää kaavioita tai verkkomuunnosjärjestelmiä luodakseen kaaviotietokantoja, jotka mahdollistavat turvalliset tapahtumat, verkkorakenteisten tietojen kyselyn ja jatkuvan tallennustilan.

2. Matematiikka

Geometria, matematiikan käsite, käyttää kaavioita eniten. Topologiaan kuuluva solmuteoria hyödyntää myös graafeja.

Algebrallista graafiteoriaa sovelletaan monilla aloilla, mukaan lukien monimutkaisuus ja dynaamiset järjestelmät, ja sillä on läheiset yhteydet ryhmäteoriaan.

3. Kielitiede

Luonnollisen kielen ja diskreettien rakenteiden paremman yhteensopivuuden ansiosta kielitiede on löytänyt erilaisia ​​käyttötapoja graafiteorian menetelmille.

Esimerkiksi syntaksi ja kompositsioonisemantiikka, jotka ovat perinteisiä lähestymistapoja, noudattavat puupohjaisia ​​tai hierarkkisia verkko- tai graafimalleja.

Luonnollisen kielen nykyaikainen lähestymistapa, pääohjattu fraasirakenteen kielioppi, mallinnetaan tyypitetyillä piirrerakenteilla tai suunnatuilla asyklisillä kaavioilla.

Monet organisaatiot, kuten TextGraphs, WordNet, VerbNet jne., ovat tulleet peliin graafien monien käyttötarkoitusten vuoksi kielitieteessä.

4. Yhteiskuntatieteet

Sosiologia käyttää graafiteoriaa sosiaalisten verkostojen analysointiin tutkiakseen huhujen leviämistä tai mitatakseen toimijoiden arvostusta näissä verkostoissa.

Muita kaavioita ovat tuttavuuskaaviot, ystävyyskaaviot, vaikutuskaaviot, yhteistyökaaviot jne., jotka kaikki tutkivat ihmisten käyttäytymistä.

5. Fysiikka ja kemia

Yllätyt tietää, mutta graafiteoria on löytänyt tiensä fysiikkaan ja kemiaan hyödyntämällä sitä molekyyliverkkojen tutkimuksessa.

Sitä käytetään fysiikassa kondensoituneen aineen fysiikan ja kolmiulotteisten atomirakenteiden ja -verkkojen tutkimiseen atomitopologiaan liittyvien graafiteorian tilastojen avulla.

Fysiikan kvanttikenttäteoria voidaan tiivistää Feynman-graafien ja laskentasääntöjen avulla.

Graafiteoria on löytänyt käyttökelpoisuutensa myös laskennallisessa neurotieteessä edustaen toiminnallisia yhteyksiä eri kognitiivisiin prosesseihin liittyvien aivoalueiden välillä.

6. Biologia

Graafiteoria on avainasemassa biologian eri lajien keskustelupyrkimyksissä, joissa tiettyjen lajien elinympäristöt ovat edustettuina solmuina ja niiden vaellusreitit reunoina.

Se on myös hyödyllinen mallinnettaessa ja analysoitaessa tietojoukkoja, joissa on monimutkaisia ​​suhteita, kuten solujen klusterointi solutyypeiksi yksisoluisen transkription analyysissä.

Graafeja käytetään myös geenien tai proteiinien mallintamiseen ja niiden suhteiden, kuten geenien säätelyverkostojen ja aineenvaihduntareittien, tutkimiseen.

Hermosto on verkko tai graafi, jossa neuronit ovat kärjet ja niiden väliset yhteydet reunoilla.

7. Kaiken kaikkiaan

Sinun olisi pitänyt joskus seurata kaupungin reittejä tai verkostoja. Kaaviot voivat esittää niitä helposti.

Sukupuusi hierarkkiset tiedot voidaan kuvata myös puutietorakenteella, tietyllä matemaattisen mallin tyypillä.

Puhutaanpa perusasioista

Graafiteoria on osa graafi- tai verkkokäsitettä tietokone Tiede on lainannut, koska sillä on koodaussovelluksia.

Ennen kuin siirrymme eteenpäin graafiteoriassa, ymmärrämme joitain peruskäsitteitä tai perusteita.

1. Piste

Piste, jota edustaa piste, on yksi-, kaksi- tai kolmiulotteisessa avaruudessa määritelty paikka, joka on merkitty aakkosilla.

Esimerkiksi,

Tässä 'x' on pointti.

2. Vertex

Se on useiden linjojen kohtauspiste, ja se tunnetaan myös solmuna. Aakkoset ilmaisevat sen.

Esimerkiksi,

Tässä 'x' on kärki.

3. Linja

Kahden pisteen välistä yhteyttä kutsutaan suoraksi.

Esimerkiksi,

Tässä kahden pisteen x ja y välistä linkkiä kutsutaan suoraksi.

4. Reuna

Reuna on polku tai viiva, joka yhdistää kaksi kärkeä, nimittäin aloituspisteen ja loppupisteen.

Voidaan muodostaa useita reunoja; siten ainakin yhden kärjen on muodostettava reuna.

Esimerkiksi,

Tässä kärjen 'x' ja 'y' välistä linkkiä kutsutaan reunaksi.

5. Yhdensuuntaiset reunat

Jos kahden kärjen välillä on useampi kuin yksi reuna, reunat ovat yhdensuuntaiset.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa kahden kärjen 'q' ja 'w' välissä on kaksi reunaa, joten näitä reunoja kutsutaan rinnakkaisiksi reunoksi.

6. Kaavio

Graafi 'g' on verkko tai matemaattinen malli, joka on muodostettu reunoista ja solmuista.

Sitä merkitään 'G', joka määritellään G = (V, E), jossa 'V' on kärkijoukko ja 'E' on reunojen joukko.

Esimerkiksi,

Yllä oleva verkko tai graafi voidaan määrittää käyttämällä sen kärkipisteitä ja reunoja, jotka ovat:

V= {a, b, c, d}

E = {ab, bc, cd}

7. Monigrafiikka

Graafia tai verkkoa, joka sisältää yhdensuuntaisia ​​reunoja, kutsutaan multigrafiksi.

Esimerkiksi,

Yllä oleva verkko on multigrafi, koska sen kärkien 'b' ja 'c' välillä on kaksi reunaa.

8. Silmukka

Rakennetta, jonka saat, kun reunalla on sama alku- ja loppupiste, kutsutaan silmukaksi, eli se on graafi, jonka kärjestä on piirretty reuna itseensä.

Esimerkiksi,

Yllä oleva graafi voidaan määritellä käyttämällä sen kärkipisteitä ja reunoja, jotka ovat:

V= {a, b, c, d}

E= {aa, ab, bb, bc, cd, da}

Silmukat ovat pisteissä a ja b.

9. Viereisyys

Graafin tai verkon reunojen ja solmujen viereisyysnormit ovat erilaisia. He ovat:

(i) Jos kahden kärjen välillä on reuna, niiden sanotaan olevan vierekkäin tai vierekkäin toistensa kanssa, ja tämä vierekkäisyyttä ylläpitää tämä yksittäinen reuna, joka yhdistää kaksi kärkeä.

(ii) Jos tyypillinen kärkipiste on kahden reunan välissä, niin reunojen sanotaan olevan vierekkäisiä tai vierekkäisiä, ja tämä yksittäinen läsnä oleva kärki säilyttää vierekkäisyyden kahden reunan välillä.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa graafissa reunojen ja pisteiden viereisyys voidaan määritellä seuraavasti:

1. Pisteet a ja b ovat vierekkäisiä, koska niitä yhdistää yhteinen reuna ab.
2. Vertices c ja d ovat vierekkäisiä, koska ne on yhdistetty yhteisellä reunalla cd.
3. Reunat a, ac ja ad ovat vierekkäisiä, koska niitä yhdistää yhteinen kärki a.
4. Reunat bc ja cd ovat vierekkäisiä, koska niitä yhdistää yhteinen kärki c.

Mikä on graafi?

Graafit ovat tietorakenteita tai verkkoja, joissa on kaksi pääkomponenttia: solmu ja reuna.

Solmu: Graafin tai verkon kärkipiste tunnetaan solmuna N tai pisteenä V.

Reuna: Kahden solmun, esimerkiksi u, v, välinen yhteys, joka tunnistetaan ainutlaatuiseksi pariksi (u, v), tunnetaan reunana E tai järjestetynä parina. Joskus kaavion reunoihin voi liittyä joitain. Merkintä- Muista aina, että (u, v) ja (v, u) eivät ole samoja ja siksi ne tunnetaan järjestetyinä pareina ja ovat ainutlaatuisia.

Graafi g voidaan ymmärtää verkkona tai kuvallisena esityksenä joukosta (V, E), jossa on joukko pisteitä V ja joukko reunoja E.

Esimerkiksi:

Tässä verkossa

V tai N = {a, b, c, d, e, f}

E = {ab, bc,

Graafisten tyypit

1. Suunnatut graafit

Kuvaajat tai verkot, joiden reunoilla on suunnat ja jotka määritellään järjestetyksi pariksi G = (V, E), jossa 'V' on joukko pisteitä ja 'E' on reunojen joukko, joka koostuu järjestetyistä pistepareista.

Esimerkiksi,

Yllä annetussa suunnatussa graafissa on reuna (a, b) ja kärjet a ja b. Nämä solmut tunnetaan päätepisteinä, joissa solmu 'a' on häntä ja solmu 'b' on reunan pää.

2. Suuntaamaton kuvaaja

Graafin tai verkon, jolla ei ole määriteltyä suuntareunaa, sanotaan olevan suuntaamaton graafi.

Suuntaamaton graafi G on järjestetty pari G = (V, E), missä E on joukko järjestämättömiä kärkipareja.

Esimerkiksi,

Reunassa (a, b) pistepari a ja b tunnetaan päätepisteinä, ja niille osuvat kaksi kärkeä yhdistävä reuna.

3. Kiertokaavio

Jos yksinkertaisella graafilla tai verkossa, jossa on 'n' pistettä, on 'n' reunaa, joiden pituus on 'n', niin tällainen verkko tunnetaan sykligraafina.

Huippupisteiden lukumäärän tulee olla suurempi tai yhtä suuri kuin 3 ja huippupisteen asteen tulee olla kaksi.

Esimerkiksi,

Yllä oleva yksinkertainen graafi on sykligraafi, koska siinä on suurempi tai yhtä suuri kuin 3 reunaa ja kärjen aste = 2.

4. Asyklinen kaavio

Suunnatun graafin, jossa ei ole sykliä, sanotaan olevan suunnattu asyklinen kuvaaja tai DAG. Verkkoa kutsutaan nimellä DAG, jos DAG:n kärjessä 'v' ei ole suunnattua reunaa, joka alkaa tai päättyy kohtaan 'v'.

merkintä: Se voi olla sekä ohjattua että ohjaamatonta.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kuvassa ei ole syklejä, joten kaavio on asyklinen tai ei-syklinen.

5. Syklinen kaavio

Asyklistä graafia vastapäätä asyklinen graafi on verkko, jossa on vähintään yksi sykli.

Esimerkiksi,

Molemmissa yllä olevissa kaavioissa reunat muodostavat syklin, mikä tarkoittaa, että verkko on syklinen.

6. Yhdistetty kaavio

Kun jokaisen pisteparin välillä on määritetty polku eikä yksikään solmu ole tavoittamaton, kuvaajaa tai verkkoa kutsutaan yhdistetyksi graafiksi.

Yhdistetyissä graafisissa verkon jokaisen kahden kärjen välillä tulee olla vähintään yksi reuna.

Esimerkiksi,

Yllä oleva verkko on yhdistetty, koska kaikki kärjet on yhdistetty määritettyjen reunojen kautta.

7. Yhteys katkennut

Toisin kuin yhdistetty graafi, katkaistu verkko tai graafi muodostuu, kun vähintään kaksi kärkeä ei ole yhdistetty.

Esimerkiksi,

Yllä oleva verkko on irrotettu graafi, koska kaksi pisteistä ei ole yhteydessä toisiinsa.

8. Täydellinen kaavio

Täydellisessä graafissa 'g' jokainen solmu 'x' on jokaisen solmun 'y' vieressä, joten jokaisen kärkiparin välissä on reuna.

Täydellisellä graafilla on 'n' keskinäistä kärkeä ja sitä merkitään 'Kn'.

Esimerkiksi,

Graafi on täydellinen yllä olevassa kuvassa, koska kaikki sen kärjet ovat yhteydessä muihin pisteisiin.

9. Kaksoiskytkentäkaavio

Graafia, jossa ei ole artikulaatiopistettä, ei voida jakaa edelleen myöhemmiksi osiksi poistamalla pisteitä, joita kutsutaan biconnected graafiksi.

Siten kaksoisliitettyjä graafia ei voida irrottaa, vaikka yksi kärkipisteistä poistettaisiin.

Esimerkiksi,

Yllä olevasta graafista G voimme nähdä, että vaikka poistaisimme yhden kärjen yllä olevasta graafista, se on silti yhdistetty.

10. Nollakuvaaja

Graafin, jossa ei ole reunaa, sanotaan olevan nollagraafi.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kuvassa on neljä kärkeä, mutta ei niitä yhdistäviä reunoja. Se on siis nollagraafi.

11. Triviaalikaavio

Graafia, joka koostuu vain yhdestä kärjestä ja jossa ei ole reunaa, kutsutaan triviaaliksi graafiksi. Se on piste lentokoneessa.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kuvassa kärki 'q' tarkoittaa triviaalia kuvaajaa.

12. Yksinkertainen kaavio

Jos graafissa ei ole silmukoita eikä yhdensuuntaisia ​​reunoja, niin tällainen graafi tunnetaan yksinkertaisena graafina.

Näissä graafisissa kaavioissa, jos niissä on 'n' kärkeä, voi olla enintään nC2 reunaa ja 2^(nC2) graafia mahdollista, missä nC2 = n(n-1)/2.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kuvassa on neljä kärkeä ja kolme reunaa, eikä silmukoita tai yhdensuuntaisia ​​reunoja.

Täällä jos näemme,

Sitten kaavamme nC2 mukaisesti, jossa n = 4, näemme, että suurin mahdollinen reunojen määrä on,

nC2 = n(n-1)/2

= 4(4-1)/2 = 6

Lisäksi suurin mahdollinen graafien määrä 4 pisteellä on,

2^(nC2) = 2^4 = 16

Miksi et yrittäisi luoda niitä 16 kuvaajaa ja katsoa, ​​onko kaava oikea?

Se tulee olemaan hauskaa.

13. Säännöllinen kaavio

Jos kaikilla graafin pisteillä on sama aste, niin tällaista graafia kutsutaan säännölliseksi graafiksi.

Graafin aste määrittää sen nimen, eli 'k'-pisteen graafin, jota kutsutaan 'k-säännölliseksi graafiksi'.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa graafissa kaikilla pisteillä on sama aste = 2, joten ne ovat säännöllinen graafi.

14. Pyöräkaavio

Kun uusi kärki, jota kutsutaan napaksi, lisätään syklikaavioon Cn-1, saadaan pyörän graafi, jota merkitään Wn:llä.

Tämä keskitin on kytketty kaikkiin Cn:n pisteisiin.

Pyöräkaavion reunojen kokonaismäärän laskemiseksi meillä on

Reunojen lukumäärä = napasta muihin kärkipisteisiin menevien reunojen määrä + useita reunoja, jotka lähtevät kaikista muista solmuista syklissä ilman napaa.

=(n-1) + (n-1)

=2(n-1)

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa keskipiste 'e' on kytketty muihin syklikaavion pisteisiin. Siten se on pyöräkaavio.

15. Kaksiosainen graafi

Jos graafissa G = (V, E), jokainen joukon E reuna liittää joukon V1 kärjen toiseen joukon V2 kärkeen, niin graafia kutsutaan kaksiosaiseksi graafin kärkiosion V = (V1, V2).

Voidaan siis sanoa, että kaksiosaisessa graafissa jokainen reuna yhdistää kaksi kärkeä eri pistejoukosta.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa graafissa reuna yhdistää kaksi kärkeä ristikkäin.

16. Täydellinen kaksiosainen graafi

Toisin kuin yksinkertainen kaksiosainen graafi, jokainen piste molemmista pisteistä V1 ja V2 on yhdistetty reunalla täydellisessä kaksiosaisessa graafissa.

Muista kuitenkin, että täydellinen kaksiosainen graafi ei ole täydellinen graafi ja se tulee hämmentää.

Täydellistä kaksiosaista graafia edustaa K (a, b), jossa a on pisteiden lukumäärä V1:ssä ja b on pisteiden lukumäärä V2:ssa.

Siten voidaan päätellä, että graafissa K (a, b) on yhteensä (a+b) pisteitä yhdistäviä’ ab’ reunoja, jotka voidaan tehdä säännöllisen graafin kaltaiseksi, jos a=b.

Esimerkiksi,

Jokaisen kärjen välillä on reuna, joka yhdistää kaksi kärkijoukkoa toisiinsa.

17. Tähtikaavio

Merkitään K:llä (1, n-1) Tähtigraafi on kaksiosaisen graafin erikoistapaus, jossa V1:ssä on yksi kärki ja V2:ssa (n-1) kärkipisteitä tai päinvastoin.

Toisin sanoen täydellistä kaksiosaista graafia, jossa kaikki yhden joukon kärjet liittyvät yhteen kärkeen, kutsutaan tähtigraafiksi.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kuvassa kaikki kärjet suppenevat tai kohtaavat samassa kärjessä. Tämä on tähtikaavio, jossa kärki V1 = {a} ja V2 = {p, q, r, s} .

18. Kuvaajan komplementti

Tiedämme, että graafi koostuu reunoista ja pisteistä (V, E).

Graafin komplementti 'G-' on graafi, joka sisältää kaikki kärjet graafina, mutta reunat ovat vain ne, jotka puuttuvat graafista.

Siten, jos toisessa esiintyvät reunat eivät ole samanlaisia ​​kahdessa graafissa toistensa kanssa, eli molemmilla on sama kärkijoukko ja linjaus, molemmat graafit tunnetaan komplementteina.

Täydellinen graafi voidaan muodostaa yhdistämällä kaksi vierekkäistä kuvaajaa.

Täten,

E (G1) + | E (G2) | = | E (G) |,

Missä G1 ja G1 ovat komplementtikaavioita ja G on täydellinen graafi.

Esimerkiksi,

Yllä olevista kaavioista voimme nähdä, että graafi 'I' ja graafi 'II' täydentävät toisiaan, koska niillä ei ole samoja reunoja, mutta samat kärjet. Myös yhdistämisen yhteydessä saamme täydellisen kaavion.

Puut ja metsä

Nyt kun olemme ymmärtäneet kaaviot ja niiden tyypit, katsotaanpa nopeasti puut ja metsät ja kuinka ne ovat kaavio.

Ensinnäkin nähdään puista.

Puu

Puut ovat asyklisiä ja yhdistettyjä kuvaajia rajoituksin. Tärkein rajoitus on, että lapsisolmulla voi olla vain yksi pääsolmu.

Kuten olemme aiemmin lukeneet, puu on aina graafi, mutta graafi ei välttämättä ole puu.

Puut ovat erityisiä verkkoja tai kaavioita, jotka edustavat hierarkkisia rakenteita matemaattisessa mallissa, ja ne luokitellaan yksinkertaisimmiksi graafisiksi tyypeiksi, joilla on rikas rakenne.

Olipa kyseessä tietojenkäsittelytieteen ongelman sukupuu, puut ovat osoittautuneet varsin hyödyllisiksi.

Puihin liittyy muutamia määritelmiä:

1. Juurisolmu: Puun ylintä solmua tai kärkeä kutsutaan juurisolmuksi. Puut aloittavat hierarkkisen rakenteensa tästä solmusta.

2. Lehtien solmut: Solmuja, joilla ei ole lapsia ja jotka ovat puun viimeisiä solmuja, kutsutaan lehtisolmuiksi.

3. Lapsisolmut: Solmuja, jotka eivät ole juurisolmuja tai lehtisolmuja, kutsutaan lapsisolmuiksi. Ne ovat juurisolmun jälkeläisiä, joilla on enemmän lapsisolmuja.

4. Haarat: Eri solmuja yhdistäviä puun reunoja kutsutaan oksiksi.

Matemaattisesti, jos puussa on 'n' solmua, siinä on 'n-1' reunaa.

Jos reunoista tulee 'n', sen täytyy muodostaa pari kahden kärjen kanssa, jolloin syntyy syklinen graafi, eivätkä puut voi koskaan olla syklisiä.

Esimerkiksi,

Yllä oleva verkko on hierarkkinen rakenne, jossa on asykliset reunat. Se on puu.

Juurisolmu: kohtaan

Lapsisolmut: b, c, d

Pääsolmut: e, f, g, h

Oksat: ab, bc, bd, ce, cf, dg, dh

Ylittäviä puita

Jos yhdistetyn graafin aligraafi muodostaa puun, sitä kutsutaan virittäväksi puuksi.

Jotta aligraafi olisi virittävä puu, kahden ehdon on täytyttävä:

(i) Sen pitäisi olla puu

(ii) Kaikkien graafin kärkien on oltava läsnä.

Esimerkiksi,

Yllä olevissa kaavioissa X ja Y X on yhdistetty graafi ja Y on X:n aligraafi, joka on puu, koska sillä ei ole jaksoja. Siten Y on virittävä puu.

Piirin sijoitus

Niiden reunojen määrää, jotka pitäisi poistaa yhdistetystä graafista virittävän puun saamiseksi, kutsutaan yhdistetyn graafin piiriarvoksi.

Oletetaan, että yhdistetyssä graafissa 'G' on 'v'-pisteitä ja 'e'-särmiä, joista muodostuu (v-1) -reunojen virittävä puu.

Koska virittävä puu sisältää 'v-1' reunat, meidän on siksi pidettävä niin monta reunaa poissa 'e':stä muodostaaksemme virittävän puun ilman jaksoja.

Siten yhdistetyn graafin piirisijoitus = e – (v-1).

Esimerkiksi,

Yllä olevassa virittävässä puuesimerkissä yhdistetyllä graafilla X on

Reunojen lukumäärä = 12

Pistemäärä = 11

Siten piirin arvo = särmien määrä – (Kärkipisteiden määrä – 1)

= 12 – (11 – 1)

= 2

Siksi saamamme virittävä puu, eli kuvaaja Y, on oikea.

Kirchoffin lause

Jos haluat löytää virittävien puiden lukumäärän, jotka voidaan muodostaa yhdistetystä graafista, voidaan käyttää Kirchoffin lausetta.

Lause, joka on yleistys Cayleyn kaavasta, sanoo, että virittävien puiden lukumäärä yhdistetystä graafista voidaan laskea polynomiajassa käyttämällä Laplacian determinanttimatriisia.

Graafin Laplacian matriisi on yhtä suuri kuin graafin astematriisin ja sen viereisyysmatriisin välinen erotus.

Esimerkiksi,

Harkitse yllä olevaa kuvaa.

Tässä matriisi L voidaan täyttää käyttämällä ykkösiä ja nollia merkitsemällä matriisissa olevia tai poissa olevia reunoja, eli jos reuna on, niin 1 ja jos puuttuu, niin 0.

L=

Yksinkertaistamalla saamme:

Kirchoffin lausetta käyttäen ylläolevan matriisin päälävistäjä korvataan kärkien asteella ja lepotermit kerrotaan -1:llä.

Kun poistat rivin 1 ja sarakkeen 1, saamme

L=

Yllä olevan matriisin determinantti = 8.

Siten on mahdollista 8 ulottuvaa puuta.

Metsä

Jos menemme englannin sanakirjan metsän määritelmään, sitä voidaan kutsua puiden kokoelmaksi.

Sama pätee myös graafiteorian suhteen.

Irrotettu asyklinen graafi, eri puiden hajanainen kokoelma, tunnetaan metsänä.

Esimerkiksi,

Jos katsomme yllä olevia kahta kuvaajaa, voimme nähdä, että nämä ovat yksittäisiä irrotettuja tai erillisiä kaavioita, joissa ei ole jaksoja. Kyseessä on siis metsä.

Vertexin aste

Huippupisteen 'X' viereisten kärkien kokonaismäärää kutsutaan kärjen astetta ja sitä merkitään asteikolla (V), joka määritellään seuraavasti:

sinä (v)<= n-1 where, v belongs to G.

Koska kärki voi muodostaa reunoja kaikkien muiden graafin kärkien kanssa paitsi itsensä, kärjen aste voi olla enintään graafin kärkien kokonaismäärä – 1.

Huippupisteiden asteesta riippuen on olemassa kahdenlaisia ​​pisteitä:

(i) Riippuva kärki

Jos kärjen aste on 1, niin sitä kutsutaan riippuvaksi kärjeksi. Tällaisilla pisteillä on vain reuna, joka yhdistää ne toiseen kärkeen.

Esimerkiksi,

Piikki on yllä olevassa kuvassa riippuva kärki, koska sitä kohti on vain reuna. Siten se on riippuva kärki.

(ii) Isolated Vertex

Jos kärjen aste on 0, sitä kutsutaan eristetyksi kärjeksi. Tällaisilla pisteillä ei ole reunoja, jotka yhdistävät ne muihin pisteisiin.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kuvassa kärkipiste on eristetty, koska siitä ei lähde kulmia. Siten se on eristetty kärki.

Huippupisteen aste vaihtelee alla olevista kahdesta kaaviosta riippuen:

(i) Suunnattu graafi

(ii) Ohjaamaton kuvaaja

1. Vertexin aste – suuntaamaton graafi

Ymmärrämme tämän esimerkin avulla:

Harkitse alla olevaa kaaviota,

Tässä kaaviossa on 5 kärkeä. Nyt kunkin huippupisteen aste on:

astetta (a) = 2

astetta (b) = 3

astetta (c) = 3

astetta (d) = 2

astetta (e) = 3

2. Vertexin aste – suunnattu graafi

Graafia, jolla on suunnatut reunat, kutsutaan suunnatuksi graafiksi. Tässä kaaviossa jokaisella kärjellä on:

(i) Tasa-arvo: Nämä ovat kärkeen 'A' tulevien reunojen lukumäärä, ja niitä merkitään asteikolla (A).

(ii) Ei-aste: Nämä ovat kärjestä 'A' lähtevien reunojen lukumäärä, ja niitä merkitään deg+(A).

Esimerkiksi,

Kun otetaan huomioon alla oleva kaavio,

Vertices, V = {a, b, c}

Reunat, E = {ba, da, cb, cd, db}

Lasketaan inaste ja ulkoaste kullekin sen kärjelle:

1. Indegree

(i) astetta (a) = 2

(ii) astetta (b) = 2

(iii) astetta (c) = 0

(iv) astetta (d) = 1

2. Ylimielinen

(i) astetta+(a) = 0

(ii) astetta+(b) = 1

(iii) astetta+(c) = 2

(iv) astetta+(d) = 2

Graafin astesekvenssi

Jos graafin kaikkien pisteiden asteiden järjestely on joko nouseva tai laskeva, niin saatua järjestystä tai järjestystä kutsutaan kyseisen graafin astesekvenssiksi.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kuvassa

Vertices V = {a, b, c, d}

Edges E = {ab, bc, cd, de, ec, eb, ea}

Kunkin kärjen aste on:

astetta (a) = 2

astetta (b) = 3

astetta (c) = 3

astetta (d) = 2

astetta (e) = 4

Siten kärkien {a, d, b, c, e} astejärjestys nousevassa järjestyksessä on: {2, 2, 3, 3, 4}

Ja pisteiden {e, b, c, a, d} astejärjestys laskevassa järjestyksessä on: {4, 3, 3, 2, 2}

Huippupisteiden asteiden summa -lause

Suuntaamattomalle graafille = (V, E), jonka kärkipisteet V = {V1, V2, …., Vn}, pisteiden asteiden summa on

n Σ i = 1 astetta (V_i) = 2 * | E |

Seuraus 1

Suuntaamattomassa graafissa on parittoman asteen pisteitä jopa useita.

Seuraus 2

Suuntaamattomalle graafille = (V, E), jonka kärkipisteet V = {V1, V2, …., Vn}, pisteiden asteiden summa on

n Σ i = 1 astetta + (V_i) = | E | = n Σ i = 1 astetta (V_i).

Seuraus 3

Suuntaamattomassa graafissa, jos kunkin kärjen aste, deg(V)<= k then,

K | V |<= 2|E|

Seuraus 4

Jos suuntaamattomassa graafissa kunkin kärjen aste, deg(V) = k, niin

K | V | = 2 | E |

Seuraus 5

Jos suuntaamattomassa graafissa kunkin kärjen aste, deg(V) >= k, niin

K | V | > = 2 | E |

Väritys

Ajoittain olemme kaikki käyttäneet värillisiä tarralapuja merkitsemään tärkeitä muistiinpanojamme helpottamaan niiden käyttöä ja ymmärtämistä.

Olemme kaikki varmasti nähneet etsiviä tv-sarjoissa ja elokuvissa, jotka kartoittavat verkkoja eri väreillä.

Sama koskee graafien väritystä graafiteoriassa.

Graafisten verkostojen väritys on realistinen tapa merkitä erilaisia ​​graafisia komponentteja, kuten reunoja, rajoitusalueita ja pisteitä.

Kuvaajan värittämisessä on pidettävä mielessä erilaisia ​​rajoituksia, kuten joukko kaavion värejä, värien määritysmenetelmä ja väritysjärjestys jne..

Samanväriset kärjet ovat osa itsenäisiä joukkoja.

Värillistä kuvaajaa, jolla on sopiva kromaattinen luku, kutsutaan oikein väritetyksi graafiksi.

Kromaattinen numero: Yleensä kahta vierekkäistä kärkeä, reunaa tai aluetta ei voida värjätä vähimmäismäärällä värejä, jotka tunnetaan kromaattisena numerona ja jota merkitään C(G).

Se voidaan määritellä pienin mahdollinen värimäärä, joka tarvitaan graafin värittämiseen.

Graafissa, jossa ei ole reunoja, kromaattinen arvo on 1, kun taas muiden kohdalla se on suurempi tai yhtä suuri kuin 2.

Esimerkiksi,

Tässä yksikään vierekkäinen kärki ei ole samanvärinen. Lisäksi, koska kaaviossa on 3 väriä, kromaattinen luku on: 3

1. Vertex-värjäys

Vertex-väritykseksi kutsutaan värien jakamista graafin kärkipisteille siten, että millään viereisellä kärjellä, eli pisteillä, joilla on vakioreuna, ei ole samaa väriä.

2. Alueen väritys

Eri värien osoittaminen tason eri alueille siten, että kahdella vierekkäisellä alueella, ts. alueella, jolla on sama reuna, ei ole samaa väriä kuin alueen väritys.

Esimerkiksi,

Alla olevassa kaaviossa vihreän ja sinisen alueiden sanotaan olevan vierekkäisiä, koska niiden välillä on yhteinen reuna 'ac'.

Siten kaavio voidaan värittää seuraavasti:

Graafisen värityksen sovellukset

Koska yksi graafiteorian olennaisista sovelluksista, monet reaaliaikaiset sovellukset käyttävät sitä.

Sitä käytetään ensisijaisesti tietojenkäsittelytieteessä seuraavasti:

• Kuvan segmentointi
• Prosessin ajoitus
• Klusterointi
• Kuvankaappaus
• Resurssien kohdentaminen
• Tietojen louhinta
• Verkostoituminen

Yhteydet

Graafin kulkemiseksi kärjestä toiseen graafin on oltava yhdistetty.

Päättääksemme, onko graafi yhdistetty vai irrotettu, meidän on tarkistettava sen liitettävyys, joka on erilainen reunalla ja kärjellä.

Yhdistettyjen graafien määritelmästä tiedämme, että jos graafin jokaisen kärjen välillä on reuna, sitä kutsutaan yhdistetyksi graafiksi.

Jos siis on polku tai linkki, joka kulkee graafin jokaisen kärjen läpi, sitä kutsutaan graafin liitettävyydeksi.

Toisaalta graafi, jossa on katkaistu, jos graafissa on useita erillisiä reunoja ja pisteitä.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa graafissa kaikki kärjet ovat yhteydessä toisiinsa, koska kunkin kärjen välillä on reuna.

Leikkaa kärki

Yhdistetyssä graafissa' G, jos 'G-V' poistetaan tai leikataan, saadaan irrallinen graafi, niin G:lle kuuluvaa kärkeä V kutsutaan leikkauspisteeksi.

n-pisteen graafissa voi olla enintään (n-2) leikkauspistettä.

Esimerkiksi,

Tässä kaaviossa pisteet c ja e ovat leikattuja pisteitä.

Vertex-yhteys

Vertex-liitettävyys määritellään pisteiden vähimmäismääräksi, joka on poistettava, jotta yhdistetty graafi muunnetaan irrotetuksi graafiksi.

Sitä merkitään K(G) ja mille tahansa yhdistetylle graafille G,

K (G) ≤ ƛ (G) ≤ δ (G) ………… (i)

Missä,

K(G) = Vertex-yhteys

ƛ(G) = Edge Connectivity

δ(G) = G:n asteen vähimmäismäärä

Esimerkiksi,

Yllä olevasta graafista g, jos poistamme kärjet d ja c, muodostuu katkennut graafi.

Tässä,

δ (G) = 2

Reunojen 'ce' ja 'ad' poistaminen antaa katkeavan graafin, joten ƛ(G) = 2

Laittamalla δ(G) ja ƛ(G) arvot yhtälöön (i) saadaan,

K(G) ≤ 2 ≤ 2

Siten K(G) = 2

Leikattu reuna (silta)

Kuten leikattu kärkipiste, jos yhdistetystä graafista poistetaan reuna siten, että se johtaa irtiyhteyteen, niin tällaisia ​​reunoja kutsutaan leikkausreunoiksi.

Yhdistetylle graafille 'G', jolla on 'v'-pisteet,

Jokaista leikattua reunaa kohti on vähintään yksi leikkauspiste; päinvastoin ei kuitenkaan ole pätevä.

Jokaiseen leikkauspisteeseen voi liittyä leikkausreuna tai ei.

Reuna voi olla leikattu reuna vain, jos reuna on osa jotakin sykliä.

V-1-leikkausreunat ovat mahdollisia.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa reuna (c,e) on leikattu reuna.

Reunaliitännät

Leikatun reunojen vähimmäismäärää tai graafin pienintä leikkausjoukkoa, joka vaaditaan yhdistetyn graafin muuntamiseen irralliseksi graafiksi, kutsutaan reunaliitettävyydeksi ja sitä merkitään ƛ(G).

Esimerkiksi,

Tässä voimme nähdä, että graafi katkeaa, jos poistamme kaaviosta reunat 'bc' ja 'gf'. Siten reunan liitettävyys on 2.

Leikkaa kaavion joukko

Jos reunajoukon E' poistaminen yhdistetystä graafista tekee graafin irti ja muodostaa irtiyhteydettömän graafin, joukon E reunoista muodostettua osajoukkoa E' kutsutaan graafin leikkausjoukoksi.

Toisin sanoen sitä poistettujen reunojen joukkoa, joka muuntaa yhdistetyn graafin irrotetuksi graafiksi, kutsutaan graafin leikkausjoukoksi.

Esimerkiksi,

Jos poistamme yllä olevasta kaaviosta reunat 'bc' ja 'gf', saamme irrotetun graafin.

Siten leikkausjoukko, E' = {bc, gf}

Itsenäiset sarjat

Jotta sarja olisi itsenäinen sarja,

(i), kahden reunan välillä ei saa olla vierekkäisiä reunoja eikä yhteistä kärkeä.

(ii) kahden kärjen välillä ei saa olla vierekkäisiä pisteitä eikä tyypillisiä reunoja.

1. Itsenäinen pistejoukko

Graafissa 'G' = (V, E) olevien pisteiden 'V' osajoukon 'S' sanotaan olevan riippumaton kärkijoukko, jos 'S':ssä ei ole vierekkäisiä kärkijoukkoja.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa

Mahdolliset osajoukot ovat:

S1 = {b}

S2 = {b, e}

S3 = {c, f}

S4 = {a, e}

Tässä osajoukot S2, S3 ja S4 ovat itsenäinen kärkipiste, koska ne sisältävät vähintään kaksi graafista pistettä eikä mikään pisteistä ole vierekkäinen. Osajoukko S1 ei ole itsenäinen kärkijoukko, koska se sisältää vain yhden kärjen.

Suurin riippumaton kärkijoukko

Itsenäinen kärkijoukko on graafin G' suurin riippumaton kärkijoukko, jos osajoukkoon ei lisätä muita kärkipisteitä.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa S2, S3 ja S4 ovat itsenäisiä kärkijoukkoja. Koska mihinkään näistä osajoukoista ei ole mahdollista lisätä enemmän pisteitä, ne ovat maksimaalisia itsenäisiä kärkijoukkoja.

Suurin riippumaton kärkijoukko

Maksimiriippumatonta kärkijoukkoa voidaan kutsua täysin riippumattomaksi kärkijoukoksi, jos maksimijoukko sisältää maksimimäärän pisteitä.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa S2, S3 ja S4 ovat maksimaalisia riippumattomia kärkijoukkoja ja pisteiden maksimimäärä kussakin osajoukossa on 2. Siten kaikki nämä osajoukot ovat maksimiriippumattomia kärkijoukkoja.

2. Itsenäinen linjasarja

Graafin osajoukko L on itsenäinen viivaosajoukko, jos L:ssä ei ole vierekkäisiä reunoja.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa

Mahdolliset osajoukot ovat:

L1 = {a, d} {e, f} {b, c}

L2 = {a, b} {c,e}

L3 = {a,c}

L4 = {e, f} {a, c}

Tässä osajoukot L1, L2 ja L4 ovat itsenäisiä viivajoukkoja, koska graafista on vähintään kaksi reunaa, eikä yksikään reunoista ole vierekkäin. Osajoukko L3 ei ole itsenäinen viivajoukko, koska se sisältää vain yhden reunan.

Suurin itsenäinen linjasarja

Itsenäinen viivajoukko on graafin G' suurin riippumaton viivajoukko, jos osajoukkoon ei voida lisätä muita reunoja.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa on mahdollista lisätä pisteitä osajoukkoon L2. Näin ollen osajoukot L1 ja L4 ovat maksimaalisia riippumattomia juovajoukkoja.

Suurin riippumaton linjasarja

Maksimiriippumatonta viivajoukkoa voidaan kutsua täysin itsenäiseksi viivajoukoksi, jos maksimijoukko sisältää maksimimäärän reunoja.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa osajoukot L1 ja L4 ovat maksimiriippumattomia viivaosajoukkoja, joissa on maksimimäärä reunoja, kun L1 = 3 ja L4 = 2. Näin ollen L1 on suurin riippumaton juovajoukko.

Peitteet

Alagraafia, joka kattaa joko kaikki graafin kärjet tai kaikki reunat, kutsutaan peittäväksi graafiksi.

Se voi olla kahta tyyppiä:

(i) Viivan peitto – Aligraafia, joka sisältää kaikki kärjet, kutsutaan viivapeitoksi tai reunapeittograafiksi.

(ii) Vertex Covering – Aligraafia, joka sisältää kaikki reunat, kutsutaan kärjen peittäväksi graafiksi.

1. Viivapeite

Graafin G = (V, E) aligraafia C(E) kutsutaan viivan peittäväksi graafiksi, jos on vähintään yksi reuna C, jossa G:n jokainen kärki on sattuva, eli jokainen kärki on kytketty toiseen kärki reunalla.

Täten,

Deg(V) >= yksi, jossa jokainen V kuuluu G:lle

merkintä: Graafilla, jossa on eristetty kärkipiste, ei ole viivan peittoa. Graafin viivapeitolla, jossa on 'x'-pisteet, on vähintään [1/2] reunaa.

Esimerkiksi,

Tässä kaaviossa viivapeitteen sisältävät alikaaviot ovat:

C1 = {{a, d}, {d, b}, {b, c}}

C2 = {{a, b}, {a, c}, {b, d}}

C3 = {{c, d}, {a, d}, {b, c}}

C4 = {{a, d}, {b, c}}

C5 = {{a, c}, {b, d}}

Minimaalinen linjapeitto

Graafin minimiviivapeitto on sellainen, jossa C(E:stä) ei voi poistaa muita reunoja.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa alakaavioita peittävä viiva ovat:

C1 = {{a, d}, {d, b}, {b, c}}

C2 = {{a, b}, {a, c}, {b, d}}

C3 = {{c, d}, {a, d}, {b, c}}

C4 = {{a, d}, {b, c}}

C5 = {{a, c}, {b, d}}

Koska reuna {d, b} voidaan poistaa C1:stä ja reuna {c, d} voidaan poistaa C3:sta, molemmat osagraafit eivät ole minimaalisia viivan peitteitä. Näin ollen C2, C4 ja C5 ovat minimaalisia linjapeitteitä.

Minimilinjapeitto

Pienin minimiviivapeitto tai minimiviivapeitto, jossa on pienin tai pienin määrä reunoja, kutsutaan minimaaliseksi viivapeitoksi.

'G' (α1) kutsutaan viivan peittoluvuksi, joka on vähimmäisviivapeitteen reunojen lukumäärä.

On olemassa erityisiä seikkoja, jotka on muistettava vähimmäisviivapeitosta:

• Jokainen viivapeite voi sisältää tai ei voi sisältää vähimmäisviivapeitteen.
• Jos viivapeitto ei sisällä polkuja, joiden pituus on yhtä suuri tai suurempi kuin 3, niin tätä viivapeitettä kutsutaan minimiviivapeitoksi. Tämä johtuu siitä, että kaikki viivan peittävät komponentit ovat tähtikaavioita, joista ei voida poistaa mitään reunaa.
• Jokainen rivipeite sisältää minimaalisen viivapeiton.
• Jakso ei ole mahdollista minimaalisessa linjapeityksessä.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa esimerkissä

Yllä olevassa kaaviossa alakaavioita peittävä viiva ovat:

C1 = {{a, d}, {d, b}, {b, c}}

C2 = {{a, b}, {a, c}, {b, d}}

C3 = {{c, d}, {a, d}, {b, c}}

C4 = {{a, d}, {b, c}}

C5 = {{a, c}, {b, d}}

Kuten näimme aiemmin, C2, C4 ja C5 ovat minimaalisia linjapeitteitä. Tässä C4 ja C5 ovat minimiviivapeitteitä, koska niissä on minimimäärä reunoja.

2. Vertex-peite

Graafin peittävä kärki on graafin G = (V, E) aligraafi 'R', jossa graafin jokainen reuna osuu 'R':n kärkeen.

Esimerkiksi,

Yllä olevasta graafista G voidaan muodostaa seuraavat alagraafit:

R1 = {a, c}

R2 = {b, d}

R3 = {a, d, b}

R4 = {a, b, c}

Näistä R1, R2, R3 ja R4 ovat aligraafit kattavat kärkipisteet.

Minimaalinen vertex-peitto

Graafin G minimaalinen pistepeitto on sellainen, jossa C(E:stä) ei voida poistaa mitään muuta kärkeä.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa osagraafit kattavat kärkipisteet ovat:

R1 = {a, c}

R2 = {b, d}

R3 = {a, d, b}

R4 = {a, b, c}

Tässä voimme poistaa kärjen 'b' R4:stä, joten R4 ei ole minimaalinen kärkipeitto. R1, R2 ja R3 ovat minimaalisia vertex-peitteitä.

Huippupisteen vähimmäispeitto

Pienintä minimivertex-peittoa tai minimivertex-peittoa, jossa on pienin tai pienin määrä pisteitä, kutsutaan minimaalipistepeitoksi.

'G' (α2) kutsutaan viivan peittoluvuksi, pisteiden lukumääräksi minimiverkon peitossa.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa esimerkissä alagraafit kattava rivi on:

R1 = {a, c}

R2 = {b, d}

R3 = {a, d, b}

R4 = {a, b, c}

Näistä neljästä alagraafit kattavat vähimmäisviivat ovat R1, R2 ja R3. Koska R1:llä ja R2:lla on minimimäärä pisteitä, ne ovat siis minimipisteiden peitteitä.

Perusominaisuudet

Jokaisella graafiteorian graafilla on muutama ominaisuus, joka on määritelty sille erityisillä termeillä, joita käytetään kuvaamaan niitä riippuen niiden rakenteesta.

Nämä erityistermit liittyvät graafiteorian alaan ja ovat yhteisiä kaikille kaavioille.

Kahden kärjen välinen etäisyys

Kahden kärjen välillä voi olla useita reunoja, joten lyhintä polkua tai etäisyyttä näiden kahden välillä kutsutaan kahden kärjen väliseksi etäisyydeksi, jota merkitään d(U, V), jossa U ja V ovat pisteitä, joiden välinen etäisyys on löydettävä.

Esimerkiksi,

On olemassa kaksi polkua päästä kärkeen A kärjestä D, mutta lyhin polku niiden välillä on ae -> ed. Näin ollen tätä polkua pidetään näiden kahden kärjen välisenä etäisyydenä.

Huippupisteen epäkeskisyys

Huippupisteen epäkeskisyys, jota merkitään e(v), määritellään pisteestä kaikkiin muihin pisteisiin laskettujen etäisyyksien maksimiarvoksi.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa 'b':n ja kaikkien muiden kärkien välinen etäisyys on:

Etäisyys 'b':stä 'a': sta: 1

Etäisyys b:stä c:hen: 1

Etäisyys b:stä e:hen: 2

Etäisyys b:stä d:hen: 3

Etäisyys 'b':stä 'f': 3

Siten kärjen 'b', e(b) epäkeskisyys on 3.

Samoin kaikkien muiden kärkien epäkeskisyydet ovat:

ja (a) = 3

ja (c) = 2

ja (d) = 3

e (e) = 2

e(f) = 3

Yhdistetyn kaavion säde

Yhdistetyn graafin säde, jota merkitään r(G), on pienin kaikkien epäkeskisyyksien joukossa tai minimi kärjen kaikkien maksimietäisyyksien joukossa kaikkiin muihin pisteisiin.

Lisäyksinkertaistamiseksi voidaan sanoa, että graafin G kaikkien epäkeskisyyksien joukossa minimi on graafin G säde.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa verkossa tai graafissa kärkien epäkeskisyydet ovat:

ja (a) = 3

e(b) = 2

ja (c) = 2

ja (d) = 3

e (e) = 2

e(f) = 3

Siten kuvaajan säde, r(G) = 2, koska se on pienin kaikista epäkeskisuuksista.

Kuvaajan halkaisija

Toisin kuin yhdistetyn graafin säde, yhdistetyn kuvaajan halkaisija on suurin epäkeskisyys kaikkien muiden epäkeskisyyksien joukossa.

Siten, jos huippupisteen ja kaikkien muiden pisteiden välisten maksimietäisyyksien joukossa on merkitty d(G).

Esimerkiksi,

Yllä olevan verkon tai graafin perusteella kärkien epäkeskisyydet ovat:

ja (a) = 3

e(b) = 2

ja (c) = 2

ja (d) = 3

e (e) = 2

e(f) = 3

Siten käyrän halkaisija d(G) = 3, koska se on suurin kaikkien epäkeskisyyksien joukossa.

Keskipiste

Kuvaajan keskipiste on kärki, jonka epäkeskisyys on yhtä suuri kuin kuvaajan säde.

Jos siis e(V) = r(V),

silloin kärki V on graafin G keskipiste.

Esimerkiksi,

Yllä olevan verkon tai graafin perusteella kärkien epäkeskisyydet ovat:

ja (a) = 3

e(b) = 2

ja (c) = 2

ja (d) = 3

e (e) = 2

e(f) = 3

Piikkien 'b' ja 'e' epäkeskisyys on yhtä suuri kuin graafin säde, eli r(G) = e(b) = e(e) = 2. Näin ollen kärjet 'b' ja 'e' ovat kaavion keskipisteet.

Keskusta

Kuvaajan keskipiste määritellään kuvaajan G keskipisteiden joukkona.

Esimerkiksi,

Yllä olevan kaavion perusteella graafin keskipiste on {b, e}.

Ympärysmitta

Niiden reunojen lukumäärää, jotka ovat osa graafin G laajinta sykliä, kutsutaan kehäksi.

Esimerkiksi,

Yllä olevan kaavion perusteella pisimmät syklit ovat a-b-c-a tai d-e-f-d. Siten kaavion ympärysmitta on 3.

Ympärysmitta

Toisin kuin graafin ympärysmitta, ympärysmitta määritellään kuvaajan G pienimmän syklin reunojen lukumääränä.

Se voi olla tai ei ole sama kuin ympärysmitta kaavion perusteella.

Esimerkiksi,

Yllä olevan kaavion perusteella pienimmät syklit ovat a-b-c-a tai d-e-f-d. Siten graafin ympärysmitta on 3.

Läpikulkukyky

Graafin läpi kulkeminen tehdään piirtämällä polku kärkien väliin ilman, että palataan samalle polulle.

Tässä artikkelissa ymmärrämme kaksi graafin kulkemisen pääkäsitettä:

(i) Eulerin polku

(ii) Hamiltonin polku

1. Eulerin polku

Jos yhdistetyissä tai suunnatuissa kaavioissa G on Eulerin polku, tällainen verkko on läpikäytävä.

Eulerin polussa tulee olla täsmälleen yksi G:n reuna ja vähintään yksi G:n kärki.

Jos Euler-polun alku- ja loppupiste ovat samat, niin tällaista polkua kutsutaan Euler-piiriksi.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa Eulerin polku on: d-a-b-d-c-b

Eulerin piirilause

Eulerin piirilauseen mukaan yhdistetyt graafit voivat olla läpikäytäviä, jos G:ssä (jos ja vain jos) on tasan 2 tai 0 pistettä, joilla on pariton aste.

Graafi voi sisältää myös Eulerin polun eikä Eulerin piiriä, jos siinä on vain kaksi pariton asteista kärkeä.

Siten, jotta graafissa olisi Eulerin piiri, sillä ei pitäisi olla parittoman asteen huippuja.

Ottaen huomioon yllä olevassa tapauksessa käytetyn graafin tai verkon graafi sisältää Eulerin polun d-a-d-b-c-b. Tämä polku ei ole Eulerin piiri, koska siinä on kaksi parittoman asteen kärkeä, eli 'b' ja 'd'.

2. Hamiltonin polku

Ennen kuin opimme Hamiltonin polusta, katsotaanpa Hamiltonin kaaviota.

Hamiltonin graafi on yhdistetty graafi G, jossa on sykli, joka sisältää kaikki graafin G kärjet.

Hamiltonin graafissa jokainen G:n kärki on olemassa vain kerran, ja muodostettua polkua kutsutaan Hamiltonin poluksi.

Hamiltonin sykli eroaa Eulerin syklistä, koska graafin kukin reuna esiintyy vain kerran Eulerin syklissä. Sitä vastoin Hamiltonin syklissä jotkut graafin reunat voidaan ohittaa.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa kaaviossa voimme sanoa, että:

Eulerin polku on olemassa – totta

Euler-piiri on olemassa – epätosi

Hamiltonin kiertokulku on olemassa – totta

Hamiltonin polku on olemassa – totta

Vastaavia

Osagraafia, jolla ei ole reunan vierekkäisyyttä tai jossa ei ole yhteistä kärkeä kahden reunan välillä, kutsutaan vastaavaksi osagraafiksi.

Matemaattisesti aligraafia voidaan kutsua graafin G = (V, E) vastaavaksi osagraafiksi M(G), jos kukin G:n kärki kohtaa korkeintaan yhdelle osagraafin M reunalle.

Siten deg(V) ≤ 1 kaikille G:hen kuuluville V:ille.

Sovitusosagraafissa tulee muistaa, että kaksi reunaa ei voi olla vierekkäisiä, koska tällöin vierekkäisten reunojen kärjen asteella on aste kaksi, mikä on vastoin täsmäyssääntöä.

Kun sovitat kaavioita,

Jos deg(V) = 1, niin huippupisteen sanotaan olevan sovitettu.

Jos deg(V) = 0, niin huippupisteen sanotaan olevan täsmäämätön.

Esimerkiksi,

Tässä kaaviossa G voidaan muodostaa seuraavat neljä sovitusta ilman vierekkäisyyttä ja jotka kattavat kaikki solmut c, f, e, d:

Yllä annettujen kaavioiden ja esimerkkien avulla voit yrittää muodostaa lisää verkkosovituksia.

Maksimaalinen yhteensopivuus

Vastaavaa osagraafia M, jossa M:ään ei voida lisätä muita reunoja, kutsutaan maksimaaliseksi sovitusosagraafiksi.

Esimerkiksi,

Yllä olevan kaavion perusteella M1 ja M3 ovat maksimaaliset yhteensopivuuden aligraafit.

Suurin vastaavuus

Suurinta maksimaalista yhteensopivuutta aligraafia tai maksimaalista aligraafia, jossa on maksimimäärä reunoja, kutsutaan maksimisovitusaligraafiksi.

Vastaava luku määritellään reunojen lukumääränä maksimiyhteensopivuusalagraafissa.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa tapauksessa meillä on M1 ja M3 maksimaalisina yhteensopivina aligraafina, jotka ovat myös maksimaaliset yhteensopivuusalagraafit, koska molemmissa on sama määrä reunoja.

Täydellinen yhteensopivuus

Jos jokaisella aligraafin kärjellä on aste yksi, eli jokainen graafin G kärki kohtaa vain yhden reunan, niin aligraafi tunnetaan täydellisesti sopivana osagraafina.

Siten sinä (V) = 1 kaikille V:lle.

merkintä: Koska reunoja ei voida lisätä täydellisesti yhteensopivaan aligraafiin, se on myös maksimivastine. Mutta päinvastoin ei päde.

Jokainen maksimiyhteensopiva osagraafi voi olla tai ei ole täydellisesti yhteensopiva osagraafi, riippuen pisteiden määrästä |V(G)|.

Jos kärkien lukumäärä on parillinen, se on täydellisesti vastaava osagraafi.

Jos se on pariton, jokaisen huippupisteen sovituksen jälkeen yksittäinen kärkipiste jätetään nolla-asteelle, mikä on vastoin täydellisen yhteensopivuuden periaatetta.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa tapauksessa muodostettuja kaavioita käyttämällä voidaan sanoa, että M1 ja M3 ovat täydellisesti yhteensopivia aligraafia, koska jokaisella solmulla on aste 1.

Isomorfismi

Saman graafin eri muotoja, joilla on sama määrä reunoja, pisteitä ja reunojen liitettävyys, kutsutaan isomorfismiksi, ja tällaisia ​​graafia kutsutaan isomorfisiksi graafiksi.

Isomorfiset kaaviot

Jos kahdella graafilla G1 ja G2 on sama määrä komponentteja ja sama reunaliitettävyys, niin tällaisia ​​graafia kutsutaan isomorfisiksi graafiksi.

Koska G1 on samanlainen kuin G2,

|V(G1) | = |V(G2) |

E (G1) = |E (G2) |

Voidaan siis sanoa, että isomorfisissa kaavioissa

Jos yhden graafin kärjet muodostavat syklin, niin myös toisen pisteet muodostavat syklin.

Lisäksi molempien kaavioiden astesekvenssit ovat samat.

Esimerkki:

Tässä tapauksessa edellä annetut suuntaamattomat graafit ovat isometrisiä, koska I1:llä ja I2:lla on sama määrä komponentteja (solmu, reuna) ja reunaliitettävyys.

Tasokaaviot

Graaf, jossa kaksi reunaa eivät risteä toisiaan ei-kärkipisteissä, voidaan piirtää tasolle tai pallolle, jota kutsutaan tasograafiksi.

Esimerkiksi,

Kaavio 1:

Kaavio 2:

Yllä olevissa kaavioissa kuvaaja 1 on ei-tasomainen ja kuvaaja 2 on tasomainen. Tämä johtuu siitä, että sillä ei ole kärkeen kuulumattomia leikkaavia reunoja.

Alueet

Tasograafin muodostamia yhdistettyjä alueita kutsutaan alueiksi.

Esimerkiksi,

Alueiden aste

Rajatun tai rajoittamattoman alueen aste määritellään alueen ympäröivien reunojen lukumäärällä. Sen antaa,

r = deg(r) = R:tä sulkevien reunojen lukumäärä.

Esimerkiksi,

Yllä olevassa esimerkissä jokaisen alueen aste on:

astetta (alue 1) = 3

astetta (alue 2) = 7

astetta (alue 3) = 3

Alueiden asteiden summa

'n' kärjen tasograafille kaikkien pisteiden asteiden summa saadaan kaavalla,

n Σ i = 1 astetta (Vi) = 2 | E |

Alueasteiden summa -lause sanoo, että tasograafissa, joka sisältää 'n' aluetta, on alueasteiden summa kuten

n Σ i = 1 astetta (Ri) = 2 | E |

Siten voidaan päätellä, että:

1. Jos D on kunkin alueen aste, niin alueiden asteiden summa on:

D|r| = 2|E|

2. Jos kunkin alueen 'r' aste on vähintään D, niin alueiden asteiden summa on:

D|r| ≤ 2|E|

3. Jos kunkin alueen 'r' aste on enintään D, niin alueiden asteiden summa on:

D|r| ≥ 2|E|

Nyt olettaen, että kaikilla alueilla on sama aste ja soveltamalla Eulerin kaavoja tasograafisiin |V| kärkien lukumäärä, |R| alueiden lukumäärä ja |E| meillä olevien reunojen määrä,

(i) |V| + |R| = |E| + 2 jos kuvaaja G on kytketty tasomaisesti.

(ii) |V| + |R| = |E| + (K+1), jos se on tasograafi, jossa on K-komponentit.

Homomorfismi

Jakamalla G:n jotkin reunat yhdellä tai useammalla kärjellä, jos voimme saada lisää graafia, kuten G1 ja G2, tällaisia ​​graafia kutsutaan homomorfisiksi graafeiksi.

Homomorfismi ja isomorfismi

Jos graafi G1 on isomorfinen toisen graafin G2 kanssa, voidaan sanoa, että graafi G2 on homomorfinen alkuperäisen graafin G kanssa. Samaa ei kuitenkaan voida sanoa toisin päin.

Monitahoinen kaavio

Jos yksinkertaisen yhdistetyn tasograafin kukin kärki on suurempi tai yhtä suuri kuin 3, niin tällaista kuvaajaa kutsutaan monitahograafiksi.

Siten deg(V) ≥ 3 kaikille G:hen kuuluville V:ille.

Tutustu meidän Ihmisen tietokoneen käyttöliittymäopas joka on hyvä aloittelijoille.

Usein Kysytyt Kysymykset